# Zadanie 15, matura podstawowa grudzień 2022

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2022](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2022/grudzien/zadanie-15

## Treść

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 2n^2 + n$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Ciąg $(a_n)$ jest malejący.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Ósmy wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $136$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sprawdzamy monotoniczność ciągu, obliczając różnicę kolejnych wyrazów:

   $$\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= 2(n+1)^2+(n+1) - \left(2n^2+n\right) \\[8pt] &= 4n+3\end{aligned}$$

2. Dla $n \geq 1$ różnica $4n+3>0$, więc ciąg $(a_n)$ jest rosnący, a nie malejący — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).

3. Obliczamy ósmy wyraz ciągu:

   $$a_8 = 2\cdot8^2+8 = 2\cdot64+8 = 136$$

4. Otrzymana wartość zgadza się z podaną w treści — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).