# Zadanie 14, matura podstawowa sierpień 2021

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2021](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/sierpien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/sierpien/zadanie-14

## Treść

Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od $1001$ jest równa

A. $\dfrac{2+998}{2}\cdot 499 \qquad\qquad$ B. $\dfrac{2+1000}{2}\cdot 500 \qquad\qquad$ C. $\dfrac{2+1001}{2}\cdot 500 \qquad\qquad$ D. $\dfrac{1+1001}{2}\cdot 1001$

## Odpowiedź

B. $\dfrac{2+1000}{2}\cdot 500$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Szukane liczby tworzą ciąg arytmetyczny $2, 4, 6, \ldots, 1000$ o pierwszym wyrazie $a_1=2$ i różnicy $r=2$.

2. Liczbę wyrazów $n$ wyznaczamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n = a_1+(n-1)r$, podstawiając $a_n=1000$:

   $$\begin{aligned}1000&=2+(n-1)\cdot 2 \\[8pt]998&=(n-1)\cdot 2 \\[8pt]n-1&=499 \\[8pt]n&=500\end{aligned}$$

3. Sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru $S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$. Podstawiamy $a_1=2$, $a_n=1000$, $n=500$:

   $$S_{500} = \dfrac{2+1000}{2}\cdot 500$$