# Zadanie 32, matura podstawowa marzec 2021

- Arkusz: [Matura podstawowa marzec 2021](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/marzec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/marzec/zadanie-32

## Treść

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{7}{5}$. Oblicz wartość wyrażenia $2\sin\alpha\cos\alpha$.

## Odpowiedź

$2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{24}{25}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obie strony danej równości podnosimy do kwadratu:

   $$\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2 = \left(\dfrac{7}{5}\right)^2$$

2. Wymnażamy lewą stronę:

   $$\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha = \dfrac{49}{25}$$

3. Korzystamy z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

   $$1+2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{49}{25}$$

4. Wyznaczamy szukaną wartość:

   $$2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{49}{25}-1 = \dfrac{24}{25}$$