# Zadanie 32, matura podstawowa maj 2021

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj/zadanie-32

## Treść

Rozwiąż równanie:

$\dfrac{3x+2}{3x-2} = 4-x$

## Odpowiedź

$x = \dfrac{5}{3}$ lub $x = 2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Równanie ma sens liczbowy, gdy mianownik jest różny od zera:

   $$3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \dfrac{2}{3}$$

2. Mnożymy obie strony równania przez $(3x-2)$:

   $$3x+2 = (3x-2)(4-x)$$

3. Wymnażamy prawą stronę i porządkujemy wyrazy:

   $$\begin{aligned}&3x+2 = 12x - 3x^2 - 8 + 2x \\[8pt] &3x^2 - 11x + 10 = 0\end{aligned}$$

4. Obliczamy wyróżnik trójmianu $3x^2 - 11x + 10$:

   $$\Delta = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$$

5. Wyznaczamy pierwiastki:

   $$x_1 = \dfrac{11-1}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}, \quad x_2 = \dfrac{11+1}{6} = 2$$

6. Oba rozwiązania są różne od $\dfrac{2}{3}$, więc są rozwiązaniami danego równania wymiernego.