# Zadanie 25, matura podstawowa maj 2021

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj/zadanie-25

## Treść

Punkt $A = (3, -5)$ jest wierzchołkiem kwadratu $ABCD$, a punkt $M = (1, 3)$ jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu $ABCD$ jest równe

A. $68 \qquad\qquad$ B. $136 \qquad\qquad$ C. $2\sqrt{34} \qquad\qquad$ D. $8\sqrt{34}$

## Odpowiedź

B. $136$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt $M$ jest środkiem przekątnej $AC$, więc odcinek $AM$ to połowa przekątnej kwadratu. Obliczamy jego długość:

   $$|AM| = \sqrt{(3-1)^2+(-5-3)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$

2. Cała przekątna kwadratu ma długość:

   $$d = 2|AM| = 4\sqrt{17}$$

3. Pole kwadratu o przekątnej $d$ liczymy ze wzoru $P=\dfrac{d^2}{2}$:

   $$P = \dfrac{\left(4\sqrt{17}\right)^2}{2} = \dfrac{16\cdot 17}{2} = \dfrac{272}{2} = 136$$