# Zadanie 23, matura podstawowa maj 2021

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj)
- Dział: Równania
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj/zadanie-23

## Treść

W każdym $n$–kącie wypukłym ($n \geq 3$) liczba przekątnych jest równa $\dfrac{n(n-3)}{2}$. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o $25$ większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt. $\qquad\qquad$ B. dziesięciokąt. $\qquad\qquad$ C. dwunastokąt. $\qquad\qquad$ D. piętnastokąt.

## Odpowiedź

B. dziesięciokąt

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Liczba przekątnych jest o $25$ większa od liczby boków $n$, więc zapisujemy równanie:

   $$\dfrac{n(n-3)}{2} = n + 25$$

2. Mnożymy obie strony przez $2$ i porządkujemy:

   $$\begin{aligned}&n(n-3) = 2n+50 \\[8pt] &n^2-3n-2n-50=0 \\[8pt] &n^2-5n-50=0\end{aligned}$$

3. Rozwiązujemy równanie kwadratowe ($\Delta = 25+200=225$, $\sqrt{\Delta}=15$):

   $$n_1 = \dfrac{5-15}{2}=-5, \quad n_2 = \dfrac{5+15}{2}=10$$

4. Liczba boków wielokąta musi być dodatnia, więc odrzucamy $n_1=-5$. Zostaje $n=10$ — dziesięciokąt.