# Zadanie 20, matura podstawowa maj 2021

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj/zadanie-20

## Treść

W trójkącie $ABC$ bok $BC$ ma długość $13$, a wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ na odcinki o długościach $|AD|=3$ i $|BD|=12$ (zobacz rysunek obok). Długość boku $AC$ jest równa

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/maj/zadanie-20)*

A. $\sqrt{34} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{13}{4} \qquad\qquad$ C. $2\sqrt{14} \qquad\qquad$ D. $3\sqrt{45}$

## Odpowiedź

A. $\sqrt{34}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. W trójkącie prostokątnym $BDC$ (kąt prosty przy $D$) z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy wysokość $CD$:

   $$CD^2 = BC^2 - BD^2 = 13^2 - 12^2 = 169-144=25 \implies CD=5$$

2. W trójkącie prostokątnym $ADC$ (kąt prosty przy $D$) stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla boku $AC$:

   $$AC^2 = AD^2+CD^2 = 3^2+5^2 = 9+25=34$$

3. Stąd:

   $$AC = \sqrt{34}$$