# Zadanie 30, matura podstawowa czerwiec 2021

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2021](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/czerwiec)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2021/czerwiec/zadanie-30

## Treść

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$, $b$ i $c$ takich, że $\dfrac{a+b}{2} > c$ i $\dfrac{b+c}{2} > a$, prawdziwa jest nierówność

$\dfrac{a+c}{2} < b$

## Odpowiedź

Nierówność $\dfrac{a+c}{2} < b$ jest prawdziwa, co należało wykazać.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Dodajemy stronami obie nierówności podane w założeniu:

   $$\dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b+c}{2} > c+a$$

2. Rozbijamy ułamki po lewej stronie na sumę i upraszczamy:

   $$\begin{aligned}\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{2} &> a+c \\[8pt] \dfrac{a}{2}+b+\dfrac{c}{2} &> a+c\end{aligned}$$

3. Odejmujemy od obu stron nierówności $\dfrac{a}{2}+\dfrac{c}{2}$:

   $$\begin{aligned}\dfrac{a}{2}+b+\dfrac{c}{2} - \dfrac{a}{2} - \dfrac{c}{2} &> a+c - \dfrac{a}{2} - \dfrac{c}{2} \\[8pt] b &> \dfrac{a+c}{2}\end{aligned}$$

4. Otrzymana nierówność $b > \dfrac{a+c}{2}$ jest równoważna nierówności $\dfrac{a+c}{2} < b$, którą należało wykazać.