# Zadanie 31, matura podstawowa maj 2018

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2018](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj/zadanie-31

## Treść

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n \ge 1$, jest równy $30$, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa $162$. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

## Odpowiedź

$a_1 = -3$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy wzór na sumę $12$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

   $$S_{12} = \dfrac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12$$

2. Podstawiamy $a_{12} = 30$ oraz $S_{12} = 162$.

   $$162 = \dfrac{a_1 + 30}{2} \cdot 12$$

3. Upraszczamy i wyznaczamy pierwszy wyraz.

   $$\begin{aligned}&162 = 6(a_1 + 30) \\[8pt] &27 = a_1 + 30 \\[8pt] &a_1 = -3\end{aligned}$$