# Zadanie 15, matura podstawowa maj 2018

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2018](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj/zadanie-15

## Treść

Dany jest trójkąt o bokach długości: $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{5}$. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

A. $10,\ 15,\ 20 \qquad\qquad$ B. $20,\ 45,\ 80 \qquad\qquad$ C. $\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4} \qquad\qquad$ D. $\sqrt{5},\ 2\sqrt{5},\ 3\sqrt{5}$

## Odpowiedź

A. $10,\ 15,\ 20$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójkąty są podobne, gdy ich boki są proporcjonalne. Boki danego trójkąta mają wspólny czynnik $\sqrt{5}$, więc są w stosunku $2 : 3 : 4$.

   $$2\sqrt{5} : 3\sqrt{5} : 4\sqrt{5} = 2 : 3 : 4$$

2. Sprawdzamy odpowiedzi. W odpowiedzi A boki $10, 15, 20$ powstają z danych przez pomnożenie przez $\sqrt{5}$.

   $$\begin{aligned}&2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 10 \\[8pt] &3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 15 \\[8pt] &4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 20\end{aligned}$$

3. Pozostałe odpowiedzi nie mają boków w stosunku $2 : 3 : 4$, więc poprawna jest odpowiedź A.