# Zadanie 13, matura podstawowa maj 2018

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2018](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj/zadanie-13

## Treść

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n \ge 1$, w którym $a_1 = \sqrt{2}$, $a_2 = 2\sqrt{2}$, $a_3 = 4\sqrt{2}$. Wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. $a_n = \left(\sqrt{2}\right)^n \qquad\qquad$ B. $a_n = \dfrac{2^n}{\sqrt{2}} \qquad\qquad$ C. $a_n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \qquad\qquad$ D. $a_n = \dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^n}{2}$

## Odpowiedź

B. $a_n = \dfrac{2^n}{\sqrt{2}}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy iloraz ciągu, dzieląc drugi wyraz przez pierwszy.

   $$q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$$

2. Wstawiamy $a_1$ i $q$ do wzoru na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

   $$a_n = \sqrt{2} \cdot 2^{n-1}$$

3. Zapisujemy $\sqrt{2}$ jako $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ i mnożymy potęgi o tej samej podstawie.

   $$a_n = \dfrac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2^{n-1} = \dfrac{2^n}{\sqrt{2}}$$

4. Poprawna jest odpowiedź B.