# Zadanie 28, matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-28

## Treść

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$ prawdziwa jest nierówność
$\dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2b} \geq \dfrac{2}{a+b}$.

## Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Dodajemy ułamki po lewej stronie, sprowadzając je do wspólnego mianownika $2ab$.

   $$\begin{aligned}\dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2b} &\geq \dfrac{2}{a+b} \\[8pt] \dfrac{b + a}{2ab} &\geq \dfrac{2}{a+b}\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium