# Zadanie 21, matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-21

## Treść

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości $3$ i $4$. Kąt $\alpha$, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy $45°$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-21)*

Wysokość graniastosłupa jest równa

A. $5 \qquad\qquad$ B. $3\sqrt{2} \qquad\qquad$ C. $5\sqrt{2} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$

## Odpowiedź

A. $5$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekątna graniastosłupa, jego wysokość $H$ i przekątna podstawy $d$ tworzą trójkąt prostokątny z kątem $\alpha = 45°$ przy podstawie.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-21)*

2. Liczymy przekątną podstawy, czyli prostokąta $3 \times 4$.

   $$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$

3. Wysokość $H$ jest przyprostokątną naprzeciw kąta $\alpha$, a $d$ leży przy tym kącie, więc korzystamy z tangensa.

   $$\begin{aligned}&\operatorname{tg} 45° = 1 \\[8pt] &\operatorname{tg} 45° = \dfrac{H}{d} \\[8pt] &1 = \dfrac{H}{5} \\[8pt] &H = 5\end{aligned}$$