# Zadanie 17, matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-17

## Treść

Dany jest trapez prostokątny $KLMN$, którego podstawy mają długości $|KL| = a$, $|MN| = b$, $a > b$. Kąt $KLM$ ma miarę $60°$. Długość ramienia $LM$ tego trapezu jest równa

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-17)*

A. $a - b \qquad\qquad$ B. $2(a - b) \qquad\qquad$ C. $a + \dfrac{1}{2}b \qquad\qquad$ D. $\dfrac{a + b}{2}$

## Odpowiedź

B. $2(a - b)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Prowadzimy z wierzchołka $M$ wysokość na podstawę $KL$. Niech $H$ będzie jej spodkiem. Powstaje trójkąt prostokątny $HLM$ z kątem $60°$ przy wierzchołku $L$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-17)*

2. Czworokąt $KHMN$ jest prostokątem, więc $|KH| = b$. Stąd długość przyprostokątnej $HL$:

   $$|HL| = a - b$$

3. W trójkącie $HLM$ przyprostokątna $HL$ leży przy kącie $60°$, a szukane ramię $LM$ jest przeciwprostokątną. Zapisujemy cosinus kąta $60°$ i wyznaczamy $|LM|$.

   $$\begin{aligned}&\cos 60° = \dfrac{1}{2} \\[8pt] &\cos 60° = \dfrac{|HL|}{|LM|} \\[8pt] &\dfrac{1}{2} = \dfrac{a - b}{|LM|} \\[8pt] &|LM| = 2(a - b)\end{aligned}$$