# Zadanie 16, matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2018 (F. 2005)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-16

## Treść

Dany jest okrąg o środku $S$. Punkty $K$, $L$ i $M$ leżą na tym okręgu. Na łuku $KL$ tego okręgu są oparte kąty $KSL$ i $KML$ (zobacz rysunek), których miary $\alpha$ i $\beta$, spełniają warunek $\alpha + \beta = 111°$. Wynika stąd, że

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2018/maj-formula-2005/zadanie-16)*

A. $\alpha = 74° \qquad\qquad$ B. $\alpha = 76° \qquad\qquad$ C. $\alpha = 70° \qquad\qquad$ D. $\alpha = 72°$

## Odpowiedź

A. $\alpha = 74°$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąt środkowy $KSL$ i kąt wpisany $KML$ są oparte na tym samym łuku, więc kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.

   $$\alpha = 2\beta$$

2. Podstawiamy to do warunku z zadania i wyznaczamy $\beta$.

   $$\begin{aligned}&2\beta + \beta = 111° \\[8pt] &3\beta = 111° \\[8pt] &\beta = 37°\end{aligned}$$

3. Wracamy do zależności $\alpha = 2\beta$.

   $$\alpha = 2 \cdot 37° = 74°$$