# Zadanie 12, egzamin ósmoklasisty maj 2026

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2026](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2026/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2026/maj/zadanie-12

## Treść

Na kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty $M$, $W$, $S$ oznaczają położenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa znajduje się $3$ km na północ i $4$ km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się $5$ km na wschód od schroniska.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2026/maj/zadanie-12)*

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż $10$ km.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Jedna kratka to $1$ km. Dorysowujemy punkt $P$ pod wieżą, na linii schroniska i muzeum. Odcinki $SW$ i $MW$ są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych $SPW$ i $MPW$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2026/maj/zadanie-12)*

2. Schronisko i muzeum leżą na jednej linii, więc odległość odczytujemy z kratek.

   $$|SM|=5$$

3. Odległość schroniska od wieży liczymy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SPW$.

   $$|SW|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

4. Obie odległości są równe $5$ km, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

5. Tak samo liczymy odległość muzeum od wieży w trójkącie $MPW$.

   $$\begin{aligned}&|PM|=4+5=9 \\[8pt]&|MW|=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}\end{aligned}$$

6. Liczba $90$ jest mniejsza od $100$, więc odległość jest mniejsza niż $10$ km i drugie zdanie jest prawdziwe (P).

   $$\sqrt{90}<\sqrt{100}=10$$