# Zadanie 14, egzamin ósmoklasisty maj 2025

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2025](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2025/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2025/maj/zadanie-14

## Treść

W układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami równoległoboku $ABCD$: $A = (-3, -2)$, $C = (4, 2)$, $D = (-1, 2)$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2025/maj/zadanie-14)*

Współrzędna $x$ wierzchołka $B$, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Niezaznaczony na rysunku wierzchołek $B$ tego równoległoboku ma współrzędne

A. $(4, -2) \qquad\qquad$ B. $(3, -2) \qquad\qquad$ C. $(2, -2) \qquad\qquad$ D. $(6, -2)$

## Odpowiedź

C. $(2, -2)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. W równoległoboku przekątne dzielą się na połowy, więc środek przekątnej $AC$ jest taki sam jak środek przekątnej $BD$. Wyznaczamy środek $AC$.

   $$S = \left(\dfrac{-3+4}{2}, \dfrac{-2+2}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$$

2. Współrzędne punktu $B=(x,y)$ muszą dawać ten sam środek co punkt $D$, więc układamy równania.

   $$\begin{aligned}&\dfrac{x+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2} \\[8pt]&\dfrac{y+2}{2}=0\end{aligned}$$

3. Rozwiązujemy równania i otrzymujemy współrzędne wierzchołka $B$.

   $$\begin{aligned}&x=2 \\[8pt]&y=-2\end{aligned}$$

4. Zatem wierzchołek $B$ ma współrzędne $(2, -2)$.