# Zadanie 11, egzamin ósmoklasisty maj 2025

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2025](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2025/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2025/maj/zadanie-11

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na środku boku $AB$ zaznaczono punkt $D$. Następnie poprowadzono odcinek $DC$, dzielący trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty $ADC$ i $DBC$. Ponadto $|AD| = |DB| = 30$ cm oraz $|DC| = 50$ cm (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2025/maj/zadanie-11)*

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Pole trójkąta $DBC$ jest równe $600$ cm$^2$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Pole trójkąta $ABC$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $ADC$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójkąt $ABC$ ma kąt prosty przy wierzchołku $B$, więc kąt $DBC$ (będący tym samym kątem) też jest prosty — trójkąt $DBC$ jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość $BC$:

   $$\begin{aligned}&|DC|^2 = |DB|^2 + |BC|^2 \\[8pt]&50^2 = 30^2 + |BC|^2 \\[8pt]&|BC|^2 = 2500-900=1600 \\[8pt]&|BC|=40\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium