# Zadanie 10, egzamin ósmoklasisty czerwiec 2025

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2025/czerwiec)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2025/czerwiec/zadanie-10

## Treść

Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa $180°$, i na tej podstawie zapisał trzy wnioski.

<table style="border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif; margin: 0 auto;">
  <tbody>
    <tr>
      <th scope="col" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wniosek 1.</th>
      <th scope="col" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wniosek 2.</th>
      <th scope="col" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wniosek 3.</th>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; text-align: left;">Skoro suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa $180°$, to trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych prostych ani dwóch kątów wewnętrznych rozwartych.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; text-align: left;">Ponieważ trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych rozwartych, więc nie istnieje trójkąt rozwartokątny równoramienny.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000; text-align: left;">Jeśli suma miar dwóch kątów wewnętrznych trójkąta jest większa od $90°$, to trzeci kąt wewnętrzny tego trójkąta jest ostry.</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
Które z wniosków zapisanych przez Karola są prawdziwe? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. Tylko 1. i 3. $\qquad\qquad$ B. Tylko 1. i 2. $\qquad\qquad$ C. Tylko 2. i 3. $\qquad\qquad$ D. 1., 2. i 3.

## Odpowiedź

A.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Analizujemy Wniosek 1. Dwa kąty proste dawałyby już $180°$ (trzeci kąt musiałby być zerowy), a dwa kąty rozwarte przekroczyłyby $180°$. Żadna z tych sytuacji nie jest możliwa w trójkącie. Wniosek 1 jest prawdziwy.

2. Analizujemy Wniosek 2. Szukamy kontrprzykładu, czyli trójkąta rozwartokątnego równoramiennego, np. o kątach $20°, 20°, 140°$.

   $$20° + 20° + 140° = 180°$$

3. Taki trójkąt istnieje, więc Wniosek 2 jest fałszywy.

4. Analizujemy Wniosek 3. Jeśli suma dwóch kątów trójkąta jest większa od $90°$, to trzeci kąt musi być mniejszy od $90°$.

   $$\gamma = 180° - (\alpha+\beta) < 180° - 90° = 90°$$

5. Wniosek 3 jest prawdziwy. Prawdziwe są wnioski 1. i 3., czyli odpowiedź A.