# Zadanie 14, egzamin ósmoklasisty maj 2024

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2024](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/maj/zadanie-14

## Treść

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątną $AC$ wydłużono o $7$ cm, a przyprostokątną $AB$ wydłużono o $12$ cm i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny $ADE$ o polu równym $200$ cm$^2$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/maj/zadanie-14)*

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa $20$ cm.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Pole trójkąta $ABC$ jest równe $52$ cm$^2$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójkąt $ADE$ jest prostokątny i równoramienny, a kąt prosty leży w wierzchołku $A$ (tak samo jak w trójkącie $ABC$), więc przyprostokątne $AE$ i $AD$ mają równą długość. Oznaczmy tę długość przez $x$.

2. Korzystamy z pola trójkąta $ADE$:

   $$\begin{aligned}&\dfrac{1}{2}x^2=200 \\[8pt] &x^2=400 \\[8pt] &x=20\end{aligned}$$

3. Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa $20$ cm, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

4. Bok $AE$ powstał z wydłużenia boku $AC$ o $7$ cm, a bok $AD$ z wydłużenia boku $AB$ o $12$ cm, więc:

   $$\begin{aligned}&AC=AE-7=20-7=13 \\[8pt] &AB=AD-12=20-12=8\end{aligned}$$

5. Obliczamy pole trójkąta $ABC$:

   $$\dfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 13 = 52$$

6. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $52$ cm$^2$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).