# Zadanie 15, egzamin ósmoklasisty grudzień 2024

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2024](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/grudzien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/grudzien/zadanie-15

## Treść

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$, którego średnica ma długość $20$ cm. Odcinek $AB$ ma długość $12$ cm i jest cięciwą tego okręgu. Punkty $A$ i $B$ połączono z punktem $S$, który jest środkiem tego okręgu.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/grudzien/zadanie-15)*

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Obwód trójkąta $ASB$ jest równy $36$ cm.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Długość okręgu $\mathcal{O}$ jest równa $20\pi$ cm.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Promień okręgu to połowa jego średnicy.

   $$r = \dfrac{20}{2} = 10$$

2. Odcinki $SA$ i $SB$ są promieniami okręgu, więc $|SA| = |SB| = 10$ cm. Obliczamy obwód trójkąta $ASB$.

   $$Obw = |SA| + |SB| + |AB| = 10 + 10 + 12 = 32$$

3. Obwód trójkąta $ASB$ wynosi $32$ cm, a nie $36$ cm, więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).

4. Długość okręgu obliczamy ze wzoru na obwód koła.

   $$Obw_{\mathcal{O}} = \pi \cdot d = \pi \cdot 20 = 20\pi$$

5. Długość okręgu $\mathcal{O}$ jest równa $20\pi$ cm, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.