# Zadanie 4, egzamin ósmoklasisty grudzień 2024

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2024](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/grudzien)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/grudzien/zadanie-04

## Treść

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba $4$ jest mniejsza od liczby <b>A/B</b>.

Liczba $4$ jest większa od liczby <b>C/D</b>.

A. $2\sqrt{3} \qquad\qquad$ B. $3\sqrt{2} \qquad\qquad$ C. $\sqrt{2}+2 \qquad\qquad$ D. $6-\sqrt{3}$

## Odpowiedź

B, C

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Aby porównać $4$ z $2\sqrt{3}$ i $3\sqrt{2}$, podnosimy obie strony do kwadratu (obie liczby są dodatnie, więc kolejność się zachowuje):

   $$\begin{aligned}&4^2 = 16, \quad (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \\[8pt]&4^2 = 16, \quad (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\end{aligned}$$

2. Skoro $16>12$, to $4>2\sqrt{3}$, czyli liczba $4$ nie jest mniejsza od $2\sqrt{3}$. Skoro $16<18$, to $4<3\sqrt{2}$, więc poprawna jest odpowiedź B.

3. Aby porównać $4$ z $\sqrt{2}+2$, odejmujemy $2$ od obu stron, a potem podnosimy do kwadratu:

   $$4-2=2, \quad 2^2=4, \quad (\sqrt{2})^2=2$$

4. Skoro $4>2$, to $2>\sqrt{2}$, czyli $4>\sqrt{2}+2$, a zatem liczba $4$ jest większa od $\sqrt{2}+2$ (odpowiedź C).

5. Aby porównać $4$ z $6-\sqrt{3}$, przekształcamy nierówność $4 > 6-\sqrt{3}$ do postaci $\sqrt{3} > 2$ i sprawdzamy kwadraty:

   $$(\sqrt{3})^2=3, \quad 2^2=4$$

6. Skoro $3<4$, to $\sqrt{3}<2$, więc nierówność $4>6-\sqrt{3}$ jest fałszywa, czyli liczba $4$ nie jest większa od $6-\sqrt{3}$. Poprawne odpowiedzi to B i C.