# Zadanie 2, egzamin ósmoklasisty grudzień 2024

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2024](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/grudzien)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/grudzien/zadanie-02

## Treść

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wartość wyrażenia $5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5$ jest równa $(5^5)^2$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wyrażenia $\dfrac{2^3 \cdot 3^3}{6}$ oraz $\left(\dfrac{12}{5} : \dfrac{2}{5}\right)^2$ mają taką samą wartość.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki, a podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki:

   $$\begin{aligned}&5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5 = 5^{2+3+5} = 5^{10} \\[8pt]&(5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10}\end{aligned}$$

2. Obie strony są równe $5^{10}$, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.

3. Obliczamy wartość pierwszego wyrażenia:

   $$\dfrac{2^3 \cdot 3^3}{6} = \dfrac{8 \cdot 27}{6} = \dfrac{216}{6} = 36$$

4. Obliczamy wartość drugiego wyrażenia. Dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

   $$\left(\dfrac{12}{5} : \dfrac{2}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{12}{5} \cdot \dfrac{5}{2}\right)^2 = 6^2 = 36$$

5. Oba wyrażenia są równe $36$, więc drugie zdanie też jest prawdziwe. Odpowiedź: PP.