# Zadanie 7, egzamin ósmoklasisty czerwiec 2024

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/czerwiec)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2024/czerwiec/zadanie-07

## Treść

Kąty $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ pewnego trójkąta spełniają dwa warunki: $\alpha + \beta = 130°$ i $\alpha + \gamma = 120°$.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Kąt $\alpha$ ma miarę $70°$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Różnica miar między kątem największym a kątem najmniejszym w tym trójkącie jest równa $20°$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180°$.

   $$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

2. Z warunku $\alpha + \beta = 130°$ obliczamy kąt $\gamma$.

   $$\gamma = 180° - 130° = 50°$$

3. Z warunku $\alpha + \gamma = 120°$ obliczamy kąt $\beta$.

   $$\beta = 180° - 120° = 60°$$

4. Kąt $\alpha$ obliczamy, odejmując od $180°$ obliczone kąty $\beta$ i $\gamma$.

   $$\alpha = 180° - \beta - \gamma = 180° - 60° - 50° = 70°$$

5. Kąt $\alpha$ rzeczywiście ma miarę $70°$ – pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

6. Kąty trójkąta to $\alpha=70°$, $\beta=60°$, $\gamma=50°$. Największy z nich to $70°$, a najmniejszy to $50°$.

   $$70° - 50° = 20°$$

7. Różnica wynosi $20°$ – drugie zdanie jest również prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.