# Zadanie 15, egzamin ósmoklasisty maj 2023

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2023](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/maj/zadanie-15

## Treść

W czworokącie $ABCD$ boki $AB$, $CD$ i $DA$ mają równe długości, a kąt $BCD$ ma miarę $131°$. Przekątna $AC$ dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i na trójkąt równoramienny (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/maj/zadanie-15)*

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Kąt $ABC$ ma miarę $60°$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Kąt $DAB$ ma miarę $98°$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójkąt $ACD$ jest równoboczny (boki $CD$ i $DA$ są równe, a trzeci bok $AC$ dopełnia go do równoboczności), więc wszystkie jego kąty mają miarę $60°$, a boki $AC$, $CD$, $DA$ są równej długości.

2. Kąt $BCD$ jest sumą kątów $BCA$ i $ACD$, więc obliczamy kąt $BCA$:

   $$\begin{aligned}&\angle BCA + \angle ACD = \angle BCD \\[8pt] &\angle BCA + 60° = 131° \\[8pt] &\angle BCA = 71°\end{aligned}$$

3. Bok $AB$ ma tę samą długość co $DA$, a $DA$ jest równe $AC$ (z równoboczności trójkąta $ACD$), więc $AB=AC$ i trójkąt $ABC$ jest równoramienny z podstawą $BC$. Kąty przy podstawie są równe: $\angle ABC = \angle ACB = 71°$. Zdanie „Kąt $ABC$ ma miarę $60°$" jest więc fałszywe.

4. Z sumy kątów w trójkącie $ABC$ obliczamy kąt $BAC$:

   $$\angle BAC = 180° - 71° - 71° = 38°$$

5. Kąt $DAB$ jest sumą kątów $DAC$ i $CAB$:

   $$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 60° + 38° = 98°$$

6. Zdanie „Kąt $DAB$ ma miarę $98°$" jest prawdziwe. Odpowiedź: FP.