# Zadanie 12, egzamin ósmoklasisty maj 2023

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2023](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/maj/zadanie-12

## Treść

W prostokącie $ABCD$ punkty $E$ i $F$ są środkami boków $BC$ i $CD$ (zobacz rysunek). Długość odcinka $EC$ jest równa $6$ cm, a długość odcinka $EF$ jest równa $10$ cm.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/maj/zadanie-12)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy

A. $64$ cm $\qquad\qquad$ B. $56$ cm $\qquad\qquad$ C. $40$ cm $\qquad\qquad$ D. $28$ cm

## Odpowiedź

B. $56$ cm

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt $F$ jest środkiem boku $CD$, a punkt $E$ jest środkiem boku $BC$, więc kąt $FCE$ jest kątem prostym (kątem prostokąta) – trójkąt $FCE$ jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka $FC$:

   $$\begin{aligned}&FC^2 + EC^2 = EF^2 \\[8pt] &FC^2 = 10^2 - 6^2 = 100-36=64 \\[8pt] &FC = 8\ \text{cm}\end{aligned}$$

2. Punkt $F$ jest środkiem $CD$, więc bok $CD$ jest dwa razy dłuższy od $FC$, a punkt $E$ jest środkiem $BC$, więc bok $BC$ jest dwa razy dłuższy od $EC$:

   $$\begin{aligned}&CD = 2\cdot FC = 2\cdot 8 = 16\ \text{cm} \\[8pt] &BC = 2\cdot EC = 2\cdot 6 = 12\ \text{cm}\end{aligned}$$

3. Obliczamy obwód prostokąta $ABCD$:

   $$2\cdot(BC+CD) = 2\cdot(12+16) = 56\ \text{cm}$$

4. Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy $56$ cm – to odpowiedź B.