# Zadanie 12, egzamin ósmoklasisty czerwiec 2023

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/czerwiec)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/czerwiec/zadanie-12

## Treść

Prostokąt podzielono na dwa identyczne trapezy równoramienne i dwa trójkąty w sposób pokazany na rysunku.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/czerwiec/zadanie-12)*

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Trójkąty, które powstały w sposób pokazany na rysunku, są równoramienne.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Gdyby kąty ostre trapezów miały miarę $30°$, to powstałe trójkąty byłyby równoboczne.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Rysunek ma symetrię względem poziomej osi przechodzącej przez środek prostokąta - górna i dolna połowa są swoim lustrzanym odbiciem. Lewy trójkąt ma za podstawę lewy bok prostokąta, a jego trzeci wierzchołek leży na tej osi symetrii.

2. Górny i dolny róg lewego boku są symetryczne względem osi, więc oba ramiona lewego trójkąta (odcinki łączące trzeci wierzchołek z tymi rogami) mają równą długość. Z tego samego powodu równoramienny jest też trójkąt po prawej stronie. Zdanie pierwsze jest prawdziwe (P).

3. Ramię trójkąta dzieli kąt prosty przy rogu prostokąta na dwie części, czyli kąt trójkąta i sąsiedni kąt ostry trapezu. Te dwa kąty sumują się do kąta prostego.

   $$\text{kąt trójkąta} + \text{kąt ostry trapezu} = 90^{\circ}$$

4. Jeśli kąt ostry trapezu ma miarę $30°$, to kąt trójkąta przy tym samym rogu jest równy

   $$90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$

5. Z symetrii trapezów tak samo wygląda to przy drugim rogu tego boku, więc oba kąty przy podstawie trójkąta mają po $60°$. Trzeci kąt trójkąta uzupełnia sumę kątów w trójkącie do $180°$.

   $$180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$$

6. Wszystkie trzy kąty trójkąta mają miarę $60°$, więc trójkąt jest równoboczny. Zdanie drugie jest prawdziwe (P).