# Zadanie 5, egzamin ósmoklasisty czerwiec 2023

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty czerwiec 2023](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/czerwiec)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2023/czerwiec/zadanie-05

## Treść

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wartość wyrażenia $(4^4)^3$ jest równa $4^7$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wartości wyrażeń $5^3 \cdot 10^3$ oraz $5^6 \cdot 2^3$ są równe.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sprawdzamy pierwsze zdanie - podnosimy potęgę do potęgi, mnożąc wykładniki:

   $$(4^4)^3 = 4^{4\cdot 3} = 4^{12}$$

2. $4^{12}$ jest różne od $4^7$ - pierwsze zdanie jest fałszywe (F).

3. Sprawdzamy drugie zdanie - przekształcamy wyrażenie $5^6 \cdot 2^3$, rozbijając $5^6$ na iloczyn potęg:

   $$5^6 \cdot 2^3 = 5^3\cdot 5^3 \cdot 2^3 = 5^3 \cdot (5\cdot 2)^3 = 5^3 \cdot 10^3$$

4. Wyrażenia $5^3 \cdot 10^3$ oraz $5^6 \cdot 2^3$ są równe - drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.