# Zadanie 5, egzamin ósmoklasisty maj 2022

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2022](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2022/maj)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2022/maj/zadanie-05

## Treść

Dane są trzy liczby:

$x = \dfrac{10^{30} \cdot 10^{70}}{10} \qquad y = (10^{3})^{15} \cdot 10^{60} \qquad z = 10^{50} \cdot \dfrac{10^{80}}{10^{20}}$

Która z tych liczb jest mniejsza od liczby $10^{100}$? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. Tylko $x$. $\qquad\qquad$ B. Tylko $y$. $\qquad\qquad$ C. Tylko $z$. $\qquad\qquad$ D. Każda z liczb $x, y, z$.

## Odpowiedź

A. Tylko $x$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy wartość liczby $x$, korzystając z zasad mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie.

   $$x = \dfrac{10^{30} \cdot 10^{70}}{10} = \dfrac{10^{100}}{10^{1}} = 10^{99}$$

2. Obliczamy wartość liczby $y$.

   $$y = (10^{3})^{15} \cdot 10^{60} = 10^{45} \cdot 10^{60} = 10^{105}$$

3. Obliczamy wartość liczby $z$.

   $$z = 10^{50} \cdot \dfrac{10^{80}}{10^{20}} = 10^{50} \cdot 10^{60} = 10^{110}$$

4. Porównujemy wykładniki otrzymanych potęg: $99 < 100 < 105 < 110$, więc tylko liczba $x$ jest mniejsza od $10^{100}$.

   $$10^{99} < 10^{100} < 10^{105} < 10^{110}$$