# Zadanie 10, egzamin ósmoklasisty marzec 2021

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty marzec 2021](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2021/marzec)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2021/marzec/zadanie-10

## Treść

Zależność między liczbą przekątnych ($k$) a liczbą boków ($n$) wielokąta wypukłego określa wzór $k = \dfrac{n(n-3)}{2}$.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Liczba przekątnych w dwunastokącie wypukłym jest <u>trzy razy większa</u> od liczby przekątnych w czworokącie wypukłym.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Liczba przekątnych w ośmiokącie wypukłym jest <u>o 11 większa</u> od liczby przekątnych w sześciokącie wypukłym.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podstawiamy do wzoru liczbę boków dwunastokąta i czworokąta.

   $$\begin{aligned}&k_{12} = \dfrac{12 \cdot (12-3)}{2} = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = 54 \\[8pt] &k_{4} = \dfrac{4 \cdot (4-3)}{2} = \dfrac{4 \cdot 1}{2} = 2\end{aligned}$$

2. Dwunastokąt ma $54$ przekątne, a czworokąt $2$. Wartość $54$ to $27$ razy więcej niż $2$, a nie trzy razy więcej, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.

3. Tak samo liczymy przekątne ośmiokąta i sześciokąta.

   $$\begin{aligned}&k_{8} = \dfrac{8 \cdot (8-3)}{2} = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = 20 \\[8pt] &k_{6} = \dfrac{6 \cdot (6-3)}{2} = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9\end{aligned}$$

4. Sprawdzamy, o ile ośmiokąt ma więcej przekątnych niż sześciokąt.

   $$20 - 9 = 11$$

5. Różnica wynosi $11$, więc drugie zdanie jest prawdziwe.