# Zadanie 9, egzamin ósmoklasisty maj 2021

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2021](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2021/maj)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2021/maj/zadanie-09

## Treść

Trójki liczb naturalnych $a$, $b$ i $c$, które spełniają warunek $a^2 + b^2 = c^2$, nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

$a = 2n + 1 \qquad\qquad b = 2n(n + 1) \qquad\qquad c = 2n^2 + 2n + 1$,

gdzie $n$ oznacza dowolną liczbę naturalną ($n \geq 1$). W zadaniach 8. i 9. liczby $a$, $b$ i $c$ są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jeżeli najmniejsza z liczb $a$, $b$ i $c$ jest równa $9$, to największa z tych liczb jest równa

A. $41 \qquad\qquad$ B. $73 \qquad\qquad$ C. $145 \qquad\qquad$ D. $181$

## Odpowiedź

A. $41$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Liczba $c$ jest większa od $b$ o $1$, a $b - a = 2n^2 - 1 > 0$, więc $b$ jest większe od $a$. Najmniejsza jest więc liczba $a$, a największa liczba $c$. Z równania $a=9$ wyznaczamy $n$.

   $$\begin{aligned}&2n + 1 = 9 \\[8pt] &2n = 8 \\[8pt] &n = 4\end{aligned}$$

2. Podstawiamy $n=4$ do wzoru na $c$.

   $$c = 2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 1 = 32 + 8 + 1 = 41$$