# Zadanie 8, egzamin ósmoklasisty maj 2021

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty maj 2021](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2021/maj)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2021/maj/zadanie-08

## Treść

Trójki liczb naturalnych $a$, $b$ i $c$, które spełniają warunek $a^2 + b^2 = c^2$, nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

$a = 2n + 1 \qquad\qquad b = 2n(n + 1) \qquad\qquad c = 2n^2 + 2n + 1$,

gdzie $n$ oznacza dowolną liczbę naturalną ($n \geq 1$). W zadaniach 8. i 9. liczby $a$, $b$ i $c$ są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba $a$ zawsze będzie <b>A/B</b>.

Liczby $b$ i $c$ różnią się o <b>C/D</b>.

A. parzysta $\qquad\qquad$ B. nieparzysta $\qquad\qquad$ C. $1 \qquad\qquad$ D. $n$

## Odpowiedź

B, C

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Liczba $2n$ jest parzysta dla każdej liczby naturalnej $n$, a po dodaniu $1$ dostajemy liczbę nieparzystą.

   $$a = \underbrace{2n}_{\text{parzysta}} + 1$$

2. Mnożymy nawias w wyrażeniu na $b$, a potem odejmujemy $b$ od $c$.

   $$\begin{aligned}&b = 2n(n+1) = 2n^2 + 2n \\[8pt] &c - b = (2n^2 + 2n + 1) - (2n^2 + 2n) = 1\end{aligned}$$