# Zadanie 15, egzamin ósmoklasisty lipiec 2020

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty lipiec 2020](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2020/lipiec)
- Dział: Równania
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2020/lipiec/zadanie-15

## Treść

Na rysunku przedstawiono czworokąt $ABCD$, który podzielono na dwa trójkąty. Długości boków otrzymanych trójkątów opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych. Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $31$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2020/lipiec/zadanie-15)*

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Odcinek $AC$ jest o $4$ jednostki dłuższy od odcinka $CD$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Obwód trójkąta $ACD$ jest równy $23$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Na rysunku $|AB|=x$, a boki $AC$ i $BC$ mają po $x-4$. Znamy obwód trójkąta $ABC$, więc układamy z niego równanie i wyznaczamy $x$.

   $$\begin{aligned}&x+(x-4)+(x-4)=31 \\[8pt] &3x-8=31 \\[8pt] &3x=39 \\[8pt] &x=13\end{aligned}$$

2. Podstawiamy $x=13$ do wyrażeń opisujących boki trójkąta $ACD$.

   $$\begin{aligned}&|AC|=13-4=9 \\[8pt] &|CD|=13-7=6 \\[8pt] &|AD|=13-5=8\end{aligned}$$

3. Sprawdzamy pierwsze zdanie, czyli o ile $AC$ jest dłuższy od $CD$. Różnica nie jest równa $4$, więc to zdanie jest fałszywe (F).

   $$|AC|-|CD|=9-6=3$$

4. Sprawdzamy drugie zdanie, dodając boki trójkąta $ACD$. Obwód zgadza się z podanym w zdaniu, więc to zdanie jest prawdziwe (P).

   $$|AD|+|CD|+|AC|=8+6+9=23$$