# Zadanie 14, egzamin ósmoklasisty lipiec 2020

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty lipiec 2020](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2020/lipiec)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2020/lipiec/zadanie-14

## Treść

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym $30°$ suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa $12$ cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość

A. $4\sqrt{2}$ cm $\qquad\qquad$ B. $4\sqrt{3}$ cm $\qquad\qquad$ C. $6$ cm $\qquad\qquad$ D. $8$ cm

## Odpowiedź

B. $4\sqrt{3}$ cm

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczamy boki trójkąta. Naprzeciw kąta $30°$ leży krótsza przyprostokątna, a przeciwprostokątna jest od niej dwa razy dłuższa.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2020/lipiec/zadanie-14)*

2. Z treści zadania układamy równanie na sumę krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej.

   $$\begin{aligned}&a + 2a = 12 \\[8pt] &3a = 12 \\[8pt] &a = 4\end{aligned}$$

3. Krótsza przyprostokątna ma $4$ cm, więc przeciwprostokątna ma $8$ cm. Dłuższą przyprostokątną $b$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

   $$\begin{aligned}&a^2 + b^2 = (2a)^2 \\[8pt] &4^2 + b^2 = 8^2 \\[8pt] &b^2 = 64 - 16 = 48 \\[8pt] &b = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\end{aligned}$$