# Zadanie 18, egzamin ósmoklasisty czerwiec 2019

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty czerwiec 2019](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2019/czerwiec)
- Dział: Dowody geometryczne
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2019/czerwiec/zadanie-18

## Treść

W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, poprowadzono dwie wysokości: $AD$ i $CE$. Na rysunku przedstawiono ten trójkąt i zaznaczono w nim niektóre kąty.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2019/czerwiec/zadanie-18)*

Uzasadnij, że kąt $\alpha$ ma miarę $110°$.

## Odpowiedź

$\alpha = 110°$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt przecięcia wysokości $AD$ i $CE$ oznaczamy przez $S$. Rozważamy trójkąt $SDC$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2019/czerwiec/zadanie-18)*

2. Wysokość $AD$ jest prostopadła do $BC$, więc kąt przy wierzchołku $D$ jest prosty. Suma kątów w trójkącie jest równa $180°$.

   $$|\angle CSD| = 180° - 90° - 20° = 70°$$

3. Kąty $CSD$ i $\alpha$ leżą na jednej prostej $CE$, więc razem mają $180°$.

   $$\alpha = 180° - |\angle CSD| = 180° - 70° = 110°$$