# Zadanie 10, egzamin ósmoklasisty czerwiec 2019

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty czerwiec 2019](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2019/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2019/czerwiec/zadanie-10

## Treść

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki trójkąta prostokątnego $ABC$ (patrz: rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2019/czerwiec/zadanie-10)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przeciwprostokątna trójkąta $ABC$ ma długość

A. $\sqrt{39} \qquad\qquad$ B. $10 \qquad\qquad$ C. $\sqrt{89} \qquad\qquad$ D. $13$

## Odpowiedź

C. $\sqrt{89}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Odczytujemy z rysunku współrzędne wierzchołków.

   $$\begin{aligned}&A = (-3, -2) \\[8pt] &B = (2, -2) \\[8pt] &C = (-3, 6)\end{aligned}$$

2. Odcinek $AB$ jest poziomy, a $AC$ pionowy, więc kąt prosty jest przy wierzchołku $A$, a przeciwprostokątną jest $BC$. Długości przyprostokątnych to różnice współrzędnych.

   $$\begin{aligned}&|AB| = 2 - (-3) = 5 \\[8pt] &|AC| = 6 - (-2) = 8\end{aligned}$$

3. Długość przeciwprostokątnej liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

   $$\begin{aligned}&|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 \\[8pt] &5^2 + 8^2 = |BC|^2 \\[8pt] &|BC|^2 = 25 + 64 = 89 \\[8pt] &|BC| = \sqrt{89}\end{aligned}$$