# Zadanie 13, egzamin ósmoklasisty grudzień 2018

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2018](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2018/grudzien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2018/grudzien/zadanie-13

## Treść

W układzie współrzędnych zaznaczono dwa punkty: $A = (-8, -4)$ i $P = (-2, 2)$. Punkt $P$ jest środkiem odcinka $AB$.

Jakie współrzędne ma punkt $B$? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. $(4, 8) \qquad\qquad$ B. $(-10, -2) \qquad\qquad$ C. $(-10, 8) \qquad\qquad$ D. $(4, -2)$

## Odpowiedź

A. $(4, 8)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy współrzędne środka odcinka $AB$, gdzie $B = (x, y)$.

   $$\begin{aligned}&P = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right) \\[8pt] &(-2, 2) = \left(\dfrac{-8 + x}{2}, \dfrac{-4 + y}{2}\right)\end{aligned}$$

2. Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu $B$.

   $$\begin{aligned}&-2 = \dfrac{-8 + x}{2} \;\;/\cdot 2 \\[8pt] &-4 = -8 + x \\[8pt] &x = 4\end{aligned}$$

3. Tak samo wyznaczamy drugą współrzędną.

   $$\begin{aligned}&2 = \dfrac{-4 + y}{2} \;\;/\cdot 2 \\[8pt] &4 = -4 + y \\[8pt] &y = 8 \\[8pt] &B = (4, 8)\end{aligned}$$