# Zadanie 20, egzamin ósmoklasisty grudzień 2017

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2017](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-20

## Treść

Trener chce zamówić $25$ nowych piłek do tenisa. Piłki wybranej firmy sprzedawane są w opakowaniach po $3$ sztuki albo po $4$ sztuki. Ile opakowań każdego rodzaju powinien zamówić trener, aby mieć dokładnie $25$ nowych piłek? Podaj wszystkie możliwości. Zapisz rozwiązanie.

## Odpowiedź

$3$ opakowania po $3$ sztuki i $4$ opakowania po $4$ sztuki
albo
$7$ opakowań po $3$ sztuki i $1$ opakowanie po $4$ sztuki

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$m$ - liczba opakowań po $3$ sztuki</li><li>$d$ - liczba opakowań po $4$ sztuki</li></ul>

2. Piłki w obu rodzajach opakowań mają dać razem $25$ sztuk. Wyznaczamy $d$, żeby sprawdzać kolejne wartości $m$.

   $$\begin{aligned}&3m+4d=25 \;\;/-3m \\[8pt]&4d=25-3m \;\;/:4 \\[8pt]&d=\dfrac{25-3m}{4}\end{aligned}$$

3. Liczba opakowań $d$ musi być całkowita. Podstawiamy kolejne $m$ od $0$. Dla $m=9$ byłoby już $27$ piłek, więc kończymy na $m=8$.

   $$\begin{aligned}&m=0: \; d=\dfrac{25}{4}=6{,}25 \\[8pt]&m=1: \; d=\dfrac{22}{4}=5{,}5 \\[8pt]&m=2: \; d=\dfrac{19}{4}=4{,}75 \\[8pt]&m=3: \; d=\dfrac{16}{4}=4 \;\;\text{(pasuje)} \\[8pt]&m=4: \; d=\dfrac{13}{4}=3{,}25 \\[8pt]&m=5: \; d=\dfrac{10}{4}=2{,}5 \\[8pt]&m=6: \; d=\dfrac{7}{4}=1{,}75 \\[8pt]&m=7: \; d=\dfrac{4}{4}=1 \;\;\text{(pasuje)} \\[8pt]&m=8: \; d=\dfrac{1}{4}=0{,}25\end{aligned}$$

4. Całkowite $d$ wychodzi tylko dla $m=3$ i $m=7$. Sprawdzamy obie możliwości.

   $$\begin{aligned}&3\cdot 3+4\cdot 4=9+16=25 \\[8pt]&7\cdot 3+1\cdot 4=21+4=25\end{aligned}$$