# Zadanie 13, egzamin ósmoklasisty grudzień 2017

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2017](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-13

## Treść

Przekątne prostokąta $ABCD$ przedstawionego na rysunku przecinają się pod kątem $140°$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-13)*

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Kąt $DCA$ ma miarę $40°$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Kąt $DAC$ ma miarę $70°$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt przecięcia przekątnych oznaczamy literą $S$. Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy, więc trójkąt $CSD$ jest równoramienny.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-13)*

2. Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego $CSD$ są równe, a suma kątów trójkąta wynosi $180°$. Pierwsze zdanie jest fałszywe, bo kąt $DCA$ ma miarę $20°$, a nie $40°$.

   $$\angle DCA = \dfrac{180°-140°}{2} = 20°$$

3. Trójkąt $ADC$ ma kąt prosty przy wierzchołku $D$, więc kąty $DAC$ i $DCA$ dopełniają się do $90°$. Drugie zdanie jest prawdziwe.

   $$\angle DAC = 90°-20° = 70°$$