# Zadanie 11, egzamin ósmoklasisty grudzień 2017

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2017](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-11

## Treść

Na bokach trójkąta prostokątnego $ABC$ zaznaczono punkty $D$ i $E$. Odcinek $DE$ podzielił trójkąt $ABC$ na dwa wielokąty: trójkąt prostokątny $ADE$ i czworokąt $DBCE$, jak na rysunku. Odcinek $AB$ ma długość $4\sqrt{3}$ cm, a odcinek $DE$ ma długość $3$ cm.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-11)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka $EC$ jest równa

A. $1\text{ cm} \qquad\qquad$ B. $\sqrt{3}\text{ cm} \qquad\qquad$ C. $2\text{ cm} \qquad\qquad$ D. $4\text{ cm} \qquad\qquad$ E. $3\sqrt{3}\text{ cm}$

## Odpowiedź

C. $2\text{ cm}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. W trójkącie prostokątnym z kątem $30°$ przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Stosujemy to w trójkącie $ADE$.

   $$|AE| = 2 \cdot |DE| = 2 \cdot 3 = 6$$

2. Tak samo w trójkącie $ABC$ oznaczamy $|BC| = x$, więc $|AC| = 2x$. Z twierdzenia Pitagorasa liczymy $|AB|$.

   $$\begin{aligned}&|AB|^2 + x^2 = (2x)^2 \\[8pt] &|AB|^2 = 3x^2 \\[8pt] &|AB| = x\sqrt{3}\end{aligned}$$

3. Porównujemy z długością $|AB|$ z treści zadania i wyznaczamy $|AC|$.

   $$\begin{aligned}&x\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \;\;/:\sqrt{3} \\[8pt] &x = 4 \\[8pt] &|AC| = 2x = 8\end{aligned}$$

4. Odcinek $EC$ to część przeciwprostokątnej $AC$ po odjęciu odcinka $AE$.

   $$|EC| = |AC| - |AE| = 8 - 6 = 2$$