# Zadanie 10, egzamin ósmoklasisty grudzień 2017

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2017](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-10

## Treść

Z każdej z dwóch jednakowych kostek sześciennych wycięto sześcian i otrzymano bryły przedstawione na rysunku.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-10)*

Czy całkowite pole powierzchni bryły I jest większe od całkowitego pola powierzchni bryły II? Wybierz odpowiedź A (Tak) albo B (Nie) i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

<table style="border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif; margin: 0 auto;">
  <tbody>
    <tr>
      <td rowspan="3" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>A.</b> Tak,

<b>B.</b> Nie,</td>
      <td rowspan="3" style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">ponieważ</td>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>1.</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">z pierwszej kostki usunięto mniejszy sześcian niż z drugiej kostki.</td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>2.</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">całkowite pole powierzchni każdej z otrzymanych brył jest równe całkowitemu polu powierzchni początkowej kostki.</td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;"><b>3.</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">pole powierzchni „wnęki” w II bryle jest większe niż pole powierzchni „wnęki” w I bryle.</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

B2

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wycięty sześcian leży w narożniku kostki. Zabiera trzy kwadratowe ściany kostki o boku $a$, ale odsłania trzy takie same ściany wnęki.

   $$P_{bryły} = P_{kostki} - 3a^2 + 3a^2 = P_{kostki}$$

2. Obie bryły mają takie samo pole powierzchni jak kostka, bez względu na wielkość wyciętego sześcianu. Pole bryły I nie jest więc większe od pola bryły II, a uzasadnieniem odpowiedzi „Nie” jest zdanie 2.