# Zadanie 5, egzamin ósmoklasisty grudzień 2017

- Arkusz: [Egzamin ósmoklasisty grudzień 2017](https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/egzamin/osmoklasisty/2017/grudzien/zadanie-05

## Treść

Narysowany kwadrat należy wypełnić tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych kwadratu były takie same.

<table style="border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif; margin: 0 auto;">
  <tbody>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$5^6$</td>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$5$</td>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$5^8$</td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$5^7$</td>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$5^5$</td>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">&nbsp;</td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">$5^2$</td>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center; background: #e8e0c8;">&nbsp;</td>
      <td style="padding: 6px 14px; border: 1.5px solid #000; text-align: center;">&nbsp;</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy $5^{15}$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">W zacieniowane pole kwadratu należy wpisać liczbę $5^9$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Na przekątnej z liczbami $5^8$, $5^5$ i $5^2$ znamy wszystkie liczby. Potęgi o tej samej podstawie mnożymy, dodając wykładniki.

   $$5^8 \cdot 5^5 \cdot 5^2 = 5^{8+5+2} = 5^{15}$$

2. Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Taki sam iloczyn ma mieć każdy wiersz, więc sprawdzamy pierwszy wiersz.

   $$5^6 \cdot 5^1 \cdot 5^8 = 5^{6+1+8} = 5^{15}$$

3. W środkowej kolumnie znamy liczby $5$ i $5^5$. Do zacieniowanego pola wpisujemy $x$ i wyznaczamy je tak, żeby iloczyn kolumny wynosił $5^{15}$. Potęgi o tej samej podstawie dzielimy, odejmując wykładniki. Drugie zdanie jest prawdziwe.

   $$\begin{aligned}&5 \cdot 5^5 \cdot x = 5^{15} \\[8pt] &5^6 \cdot x = 5^{15} \;\;/:5^6 \\[8pt] &x = 5^{15-6} = 5^9\end{aligned}$$